线性表

博主： wmicheng
发布时间：2025 年 02 月 10 日
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分类：数据结构

## **线性表**

![线性表](https://wmicheng.top/images/note/img/线性表.jpg)

`线性表`(**Linear List**)是具有相同数据类型的$n(n≥0)$个数据元素的有限序列，其中$n$为表长，当$n = 0$时线性表是一个空表

若用$L$命名线性表，则其一般表示为 $L = (a_1, a_2, … , a_i, a_{i+1}, … , a_n)$

$a_1$是`表头元素` $a_n$是`表尾元素`

除第一个元素外，每个元素有且`仅有一个直接前驱`

除最后一个元素外，每个元素有且`仅有一个直接后继`

> #### 线性表的基本操作

`InitList(&L)`：**初始化表**。构造一个空的线性表L，分配内存空间。

`DestroyList(&L)`：**销毁操作**。销毁线性表，并释放线性表L所占用的内存空间。

`ListInsert(&L,i,e)`：**插入操作**。在表L中的第`i`个位置上插入指定元素e。

`ListDelete(&L,i,&e)`：**删除操作**。删除表L中第`i`个位置的元素，并用`e`返回删除元素的值。

`LocateElem(L,e)`：**按值查找操作**。在表L中查找具有给定关键字值的元素。

`GetElem(L,i)`：**按位查找操作**。获取表L中第`i`个位置的元素的值。

`Length(L)`：**求表长**。返回线性表`L`的长度，即`L`中数据元素的个数。

`PrintList(L)`：**输出操作**。按前后顺序输出线性表L的所有元素值。

`Empty(L)`：**判空操作**。若L为空表，则返回`true`，否则返回`false`。

> #### C++引用关键字`&`

什么时候要传入参数的引用“`&`”： 对参数的修改结果需要“`带回来`”，是引用类型而不是值类型

![线性表12](https://wmicheng.top/images/note/img/线性表12.png)

## **顺序表**

> #### 顺序表定义

用顺序存储的方式实现线性表顺序存储，把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。

> #### 顺序表的实现

| 顺序表的实现-静态分配                                        | 顺序表的实现-动态分配                                        |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![顺序表实现_静态分配01](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表实现_静态分配01.png) | ![顺序表的实现-动态分配](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表的实现-动态分配.png) |
| ![顺序表的实现_静态分配02](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表的实现_静态分配02.png) | ![顺序表的实现-动态分配1](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表的实现-动态分配1.png) |

**如果“数组”存满了怎么办：**

`直接放弃`

> #### 顺序表的特点

**顺序表的实现：**

- **随机访问**，即可以在$O(1)$时间内找到第`i`个元素。
- **存储密度高**，每个结点只存储数据元素
- **拓展容量不方便**（即便采用动态分配的方式实现，拓展长度的时间复杂度也比较高）
- **插入、删除操作不方便**，需要移动大量元素

> #### 顺序表的插入、删除

| 顺序表的插入                                                 | 顺序表的删除                                                 |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![顺序表的插入](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表的插入.png) | ![顺序表的删除](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表的删除.png) |

> #### 增加`i`的合法性判断：

![顺序表的健壮性检测](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表的健壮性检测.png)

| 最好时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 平均时间复杂度 |
| :------------: | :------------: | :------------: |
|     $O(1)$     |     $O(n)$     |     $O(n)$     |

> ### 顺序表的查找

| 顺序表的按位查找                                             | 顺序表的按值查找                                             |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![顺序表的查找](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表的查找.png) | ![顺序表的按值查找](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表的按值查找.png) |

- 正是如此，在初始化顺序表时候malloc需要强制转换为与数据元素的数据类型相对应的指针
- `时间复杂度=O(1)`
- 随机存取：由于顺序表的各个数据元素在内存中连续存放，因此可以根据**起始地址**和**数据元素大小**立即找到第`i`**个元素，

| 最好时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 平均时间复杂度 |
| :------------: | :------------: | :------------: |
|     $O(1)$     |     $O(n)$     |     $O(n)$     |

## **单链表**

### 单链表定义

![定义一个单链表](https://wmicheng.top/images/note/img/定义一个单链表.png)

> #### 带头结点的&不带头结点单链表

| 带头结点                                                     | 不带头结点                                                   |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![不带头结点的单链表](https://wmicheng.top/images/note/img/不带头结点的单链表.png) | ![带头结点的单链表](https://wmicheng.top/images/note/img/带头结点的单链表.png) |

`区别：`

- 不带头结点，写代码更麻烦
- 对第一个数据结点和后续数据结点的处理需要用不同的代码逻辑
- 对空表和非空表的处理需要用不同的代码逻辑
- 一般使用的都是带头结点的单链表

![单链表定义](https://wmicheng.top/images/note/img/单链表定义.png)

### `单链表的插入操作`

#### 按位序插入

| 按位序插入（带头结点）                                       | 按位序插入（不带头结点）                                     |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![单链表的插入](https://wmicheng.top/images/note/img/单链表的插入.png) | ![单链表的按位序插入](https://wmicheng.top/images/note/img/单链表的按位序插入.png) |

> #### 按位序插入（不带头结点）

**单链表插入函数**：`ListInsert(&L,i,e)`：

插入操作，在表`L`中的第`i`个位置上插入指定元素e

1. 找到第`i-1`个结点，将新结点插入其后
2. 若带有头结点，插入更加方便，头结点可以看作“`第0个`”结点，直接做上面的操作即可
3. 若插在表中则与插在表头一样进行操作，可以插入成功
4. 若插在表尾则`s->next`为`NULL`（在表的定义时规定的），可以插入成功
5. 若`i`插在表外`（i>Lengh）`则p指针指向`NULL`（`While循环一直指向p->next`）不能插入成功

| 最好时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 平均时间复杂度 |
| :------------: | :------------: | :------------: |
|     $O(1)$     |     $O(n)$     |     $O(n)$     |

> #### 按位序插入（不带头结点）

**单链表插入函数**：`ListInsert(&L,i,e)`：

插入操作，在表L中的第`i`个位置上插入指定元素e

1. `不存在“第0个`结点，因此`i=1`时需要特殊处理
2. 找到第`i-1`个结点，将新结点插入其后
3. 若`i!=1`则处理方法和带头结点相同
4. 值得注意的是`int j =1`而非带头结点的0（带头结点的头结点为第0个结点）

`结论：不带头结点写代码更不方便，推荐用带头结点`

#### 指定结点插入操作

| 指定结点的前插操作                                           | 指定结点的后插操作                                           |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![指定结点的前插操作](https://wmicheng.top/images/note/img/指定结点的前插操作.png) | ![指定结点的后插操作](https://wmicheng.top/images/note/img/指定结点的后插操作.png) |

> #### 指定结点的前插操作注意事项

因为**仅知道指定结点的信息和后继结点的指向**，因此**无法直接获取到前驱结点**

| `方法1`：获取头结点然后再一步步找到指定结点的前驱            | `方法2`：将新结点先连上指定结点`p`的`后继`，接着指定结点p连上新结点`s`，将`p`中元素复制到`s`中，将p中元素覆盖为要插入的元素`e` |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![指定结点的前插操作方法1](https://wmicheng.top/images/note/img/指定结点的前插操作方法1.png) | ![指定结点的前插操作方法2](https://wmicheng.top/images/note/img/指定结点的前插操作方法2.png) |

### **单链表的删除**

#### 按位序删除（带头结点）

**单链表删除函数**：`ListDelete(&L,i,&e)`

- 删除操作，删除表L中第`i`个位置的元素，并用`e`返回删除元素的值。
- 找到第`i-1`个结点，将其指针指向第`i+1`个结点，并释放第`i`个结点

![按位序删除（带头结点）](https://wmicheng.top/images/note/img/按位序删除（带头结点）.png)

#### 指定结点的删除

- 删除结点p，需要修改其前驱结点的next指针，和指定结点的前插操作一样
- > **方法1**：传入头指针，循环寻找p的前驱结点
- ![指定结点的删除1](https://wmicheng.top/images/note/img/指定结点的删除1.png)
- > **方法2**：偷天换日，类似于结点前插的实现
- ![指定结点的删除2](https://wmicheng.top/images/note/img/指定结点的删除2.png)

如果要删除的结点`p`是最后一个结点：

- 只能从表头开始依次寻找`p`的前驱，时间复杂度$O(n)$
- 这就体现了**单链表的局限性**：**无法逆向检索**，某些时候不太方便

### **单链表的查找**

| 按位查找                                                     | 按值查找                                                     |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![单链表按位查找](https://wmicheng.top/images/note/img/单链表按位查找.png) | ![单链表按值查找](https://wmicheng.top/images/note/img/单链表按值查找.png) |

> #### 按位查找

- `GetElem(L,i)`：**按位查找操作**。获取表`L`中第`i`个位置的元素的值。
- 实际上单链表的插入中找到`i-1`部分就是按位查找`i-1`个结点
- 如果`i=0`则直接不满足`j<i`则指针`p`直接返回头结点`L`
- 如果`i`超界则当时`p`指向了`NULL`，指针`p`返回`NULL`
- **平均时间复杂度**：$O(n)$

> #### 按值查找

**单链表按值查找函数**：`LocateElem(L,e);`

- 在表`L`中查找具有给定**关键字值**的元素。
- **能找到的情况**：`p`指向了`e`值对应的元素，返回该元素
- **不能找到的情况**：`p`指向了`NULL`，指针`p`返回`NULL`
- **平均时间复杂度**：$O(n)$

> #### 求表的长度：

![求表的长度](https://wmicheng.top/images/note/img/求表的长度.png)

- **平均时间复杂度**：$O(n)$

### **单链表的建立**

> #### 尾插法

| 方法1：套用之前学过的位序插入，每次都要从头开始往后面遍历，时间复杂度为$O(n^2)$ | `方法2`：增加一个尾指针`r`，每次插入都让`r`指向新的表尾结点，时间复杂度为$O(n)$ |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![尾插法](https://wmicheng.top/images/note/img/尾插法.png)   | ![尾插法2](https://wmicheng.top/images/note/img/尾插法2.png) |

> #### 头插法

- 每次插入元素都插入到单链表的表头
- 头插法和之前学过的单链表后插操作是一样的，可以直接套用
- `L->next=NULL`;可以防止野指针

![头插法](https://wmicheng.top/images/note/img/头插法.png)

**总结：**

- 头插法、尾插法：核心就是初始化操作、指定结点的后插操作
- 注意设置一个指向表尾结点的指针
- 头插法的重要应用：**链表的逆置**

## **双链表**

> #### 为什么要要使用双链表

- 单链表：无法逆向检索，有时候不太方便
- 双链表：可进可退，但是存储密度更低一丢丢

![双链表数据类型](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表数据类型.png)

> #### 双链表的初始化（带头结点）

![双链表的初始化](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表的初始化.png)

> #### 双链表的插入

![双链表的插入](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表的插入.png)

- 小心如果p结点为最后一个结点产生的空指针问题，因此循环链表应运而生（详见后面的循环链表插入删除）
- 注意指针的修改顺序

> #### 双链表的删除

![双链表的删除](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表的删除.png)

> #### 双链表的遍历

![双链表的遍历](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表的遍历.png)

## **循环链表**

**循环单链表与单链表的区别：**

| 单链表                               | 循环单链表                             |
| ------------------------------------ | -------------------------------------- |
| 表尾结点的`next`指针指向`NULL`       | 表尾结点的`next`指针指向`头结点`       |
| 从一个结点出发只能找到后续的各个结点 | 从一个结点出发可以找到其他任何一个结点 |

### 循环单链表初始化

![循环单链表初始化](https://wmicheng.top/images/note/img/循环单链表初始化.png)

- 从头结点找到尾部，时间复杂度为$O(n)$
- **如果需要频繁**的**访问表头、表尾**，可以让`L`指向表尾元素（插入、删除时可能需要修改`L`）
- 从尾部找到头部，时间复杂度为$O(1)$

### 循环双链表与双链表的区别

| 双链表                      | 循环双链表                    |
| --------------------------- | ----------------------------- |
| 表头结点的`prior`指向`NULL` | 表头结点的`prior`指向表尾结点 |
| 表尾结点的`next`指向`NULL`  | 表尾结点的`next`指向头结点    |

### 循环双链表的初始化

![循环单链表初始化](https://wmicheng.top/images/note/img/循环单链表初始化.png)

### 循环链表的插入

![循环链表的插入](https://wmicheng.top/images/note/img/循环链表的插入.png)

- 对于双链表来说如果p结点为最后一个结点，因为`next`结点为`null`，`p->next->prior=s`会产生的**空指针问题**
- 循环链表规避因为最后结点的`next`结点为头结点因此不会发生问题

### 循环链表的删除

与循环链表的插入相同

![循环链表的删除](https://wmicheng.top/images/note/img/循环链表的删除.png)

**注意点：**

写代码时候注意以下几点，以此规避错误：

- 如何**判空**
- 如何判断结点`p`是否是表尾/表头元素（后向/前向遍历的实现核心）
- 如何在表头、表中、表尾插入/删除一个结点

## **静态链表**

### 静态链表定义

- 分配**一整片连续的内存空间**，各个结点集中安置
- 每个结点由两部分组成：`data`（**数据元素**）和`next`（**游标**）
- **0号结点**充当“头结点”，不具体存放数据
- 游标为`-1`表示已经到达表尾
- 游标充当“**指针**”，表示下个结点的存放位置，下面举一个例子：
- 每个数据元素`4B`，每个游标`4B`（每个结点共`8B`），设起始地址为`addr`，`e1`的存放地址为`addr`$+ 8×2$（游标值）

### 定义静态链表

| 方法1                                                        | 方法2                                                        |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| ![定义静态链表](https://wmicheng.top/images/note/img/定义静态链表.png) | ![定义静态链表2](https://wmicheng.top/images/note/img/定义静态链表2.png) |

> #### 基本操作

**初始化**

- 把`a[0]`的`next`设为`-1`
- 把其他结点的`next`设为一个特殊值用来表示结点空闲，如`-2`

## **顺序表和链表的比较**

### 逻辑结构

都属于`线性表`，是**线性结构**

|   类型 | 顺序表                           | 单链表                                                   |
| -----: | :------------------------------- | :------------------------------------------------------- |
| `功能` | 每个结点中只存放数据元素         | 每个结点除了存放数据元素外，还要存储指向下一个结点的指针 |
| `优点` | 可随机存取，存储密度高           | 不要求大片连续空间，改变容量方便                         |
| `缺点` | 要求大片连续空间，改变容量不方便 | 存储密度低，不可随机存取，要耗费一定空间存放指针         |

### 基本操作

> #### 创建

> #### 销毁

> #### 增删

> #### 查找

> #### 使用条件

### 开放式问题的解题思路

> **问题**： 请描述顺序表和链表的`bla bla bla…`实现线性表时，用顺序表还是链表好？

1. 顺序表和链表的逻辑结构都是线性结构，都属于线性表。
2. 但是二者的存储结构不同，顺序表采用顺序存储…(特点，带来的优点缺点)；链表采用链式存储…（特点、导致的优缺点）。
3. 由于采用不同的存储方式实现，因此基本操作的实现效率也不同。
4. 当初始化时…；当插入一个数据元素时…；当删除一个数据元素时…；当查找一个数据元素时…

---

最后修改：2025 年 02 月 11 日

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线性表

wmicheng • 2025 年 02 月 10 日

## **线性表**

![线性表](https://wmicheng.top/images/note/img/线性表.jpg)

`线性表`(**Linear List**)是具有相同数据类型的$n(n≥0)$个数据元素的有限序列，其中$n$为表长，当$n = 0$时线性表是一个空表

若用$L$命名线性表，则其一般表示为 $L = (a_1, a_2, … , a_i, a_{i+1}, … , a_n)$

$a_1$是`表头元素` $a_n$是`表尾元素`

除第一个元素外，每个元素有且`仅有一个直接前驱`

除最后一个元素外，每个元素有且`仅有一个直接后继`

> #### 线性表的基本操作

`InitList(&L)`：**初始化表**。构造一个空的线性表L，分配内存空间。

`DestroyList(&L)`：**销毁操作**。销毁线性表，并释放线性表L所占用的内存空间。

`ListInsert(&L,i,e)`：**插入操作**。在表L中的第`i`个位置上插入指定元素e。

`ListDelete(&L,i,&e)`：**删除操作**。删除表L中第`i`个位置的元素，并用`e`返回删除元素的值。

`LocateElem(L,e)`：**按值查找操作**。在表L中查找具有给定关键字值的元素。

`GetElem(L,i)`：**按位查找操作**。获取表L中第`i`个位置的元素的值。

`Length(L)`：**求表长**。返回线性表`L`的长度，即`L`中数据元素的个数。

`PrintList(L)`：**输出操作**。按前后顺序输出线性表L的所有元素值。

`Empty(L)`：**判空操作**。若L为空表，则返回`true`，否则返回`false`。

> #### C++引用关键字`&`

什么时候要传入参数的引用“`&`”： 对参数的修改结果需要“`带回来`”，是引用类型而不是值类型

![线性表12](https://wmicheng.top/images/note/img/线性表12.png)

## **顺序表**

> #### 顺序表定义

用顺序存储的方式实现线性表顺序存储，把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。

> #### 顺序表的实现

**如果“数组”存满了怎么办：**

`直接放弃`

> #### 顺序表的特点

**顺序表的实现：**

> #### 顺序表的插入、删除

> #### 增加`i`的合法性判断：

![顺序表的健壮性检测](https://wmicheng.top/images/note/img/顺序表的健壮性检测.png)

| 最好时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 平均时间复杂度 |
| :------------: | :------------: | :------------: |
|     $O(1)$     |     $O(n)$     |     $O(n)$     |

> ### 顺序表的查找

| 最好时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 平均时间复杂度 |
| :------------: | :------------: | :------------: |
|     $O(1)$     |     $O(n)$     |     $O(n)$     |

## **单链表**

### 单链表定义

![定义一个单链表](https://wmicheng.top/images/note/img/定义一个单链表.png)

> #### 带头结点的&不带头结点单链表

`区别：`

![单链表定义](https://wmicheng.top/images/note/img/单链表定义.png)

### `单链表的插入操作`

#### 按位序插入

> #### 按位序插入（不带头结点）

**单链表插入函数**：`ListInsert(&L,i,e)`：

插入操作，在表`L`中的第`i`个位置上插入指定元素e

| 最好时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 平均时间复杂度 |
| :------------: | :------------: | :------------: |
|     $O(1)$     |     $O(n)$     |     $O(n)$     |

> #### 按位序插入（不带头结点）

**单链表插入函数**：`ListInsert(&L,i,e)`：

插入操作，在表L中的第`i`个位置上插入指定元素e

`结论：不带头结点写代码更不方便，推荐用带头结点`

#### 指定结点插入操作

> #### 指定结点的前插操作注意事项

因为**仅知道指定结点的信息和后继结点的指向**，因此**无法直接获取到前驱结点**

### **单链表的删除**

#### 按位序删除（带头结点）

**单链表删除函数**：`ListDelete(&L,i,&e)`

- 删除操作，删除表L中第`i`个位置的元素，并用`e`返回删除元素的值。
- 找到第`i-1`个结点，将其指针指向第`i+1`个结点，并释放第`i`个结点

![按位序删除（带头结点）](https://wmicheng.top/images/note/img/按位序删除（带头结点）.png)

#### 指定结点的删除

如果要删除的结点`p`是最后一个结点：

- 只能从表头开始依次寻找`p`的前驱，时间复杂度$O(n)$
- 这就体现了**单链表的局限性**：**无法逆向检索**，某些时候不太方便

### **单链表的查找**

> #### 按位查找

> #### 按值查找

**单链表按值查找函数**：`LocateElem(L,e);`

> #### 求表的长度：

![求表的长度](https://wmicheng.top/images/note/img/求表的长度.png)

- **平均时间复杂度**：$O(n)$

### **单链表的建立**

> #### 尾插法

> #### 头插法

- 每次插入元素都插入到单链表的表头
- 头插法和之前学过的单链表后插操作是一样的，可以直接套用
- `L->next=NULL`;可以防止野指针

![头插法](https://wmicheng.top/images/note/img/头插法.png)

**总结：**

- 头插法、尾插法：核心就是初始化操作、指定结点的后插操作
- 注意设置一个指向表尾结点的指针
- 头插法的重要应用：**链表的逆置**

## **双链表**

> #### 为什么要要使用双链表

- 单链表：无法逆向检索，有时候不太方便
- 双链表：可进可退，但是存储密度更低一丢丢

![双链表数据类型](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表数据类型.png)

> #### 双链表的初始化（带头结点）

![双链表的初始化](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表的初始化.png)

> #### 双链表的插入

![双链表的插入](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表的插入.png)

- 小心如果p结点为最后一个结点产生的空指针问题，因此循环链表应运而生（详见后面的循环链表插入删除）
- 注意指针的修改顺序

> #### 双链表的删除

![双链表的删除](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表的删除.png)

> #### 双链表的遍历

![双链表的遍历](https://wmicheng.top/images/note/img/双链表的遍历.png)

## **循环链表**

**循环单链表与单链表的区别：**

### 循环单链表初始化

![循环单链表初始化](https://wmicheng.top/images/note/img/循环单链表初始化.png)

### 循环双链表与双链表的区别

### 循环双链表的初始化

![循环单链表初始化](https://wmicheng.top/images/note/img/循环单链表初始化.png)

### 循环链表的插入

![循环链表的插入](https://wmicheng.top/images/note/img/循环链表的插入.png)

### 循环链表的删除

与循环链表的插入相同

![循环链表的删除](https://wmicheng.top/images/note/img/循环链表的删除.png)

**注意点：**

写代码时候注意以下几点，以此规避错误：

- 如何**判空**
- 如何判断结点`p`是否是表尾/表头元素（后向/前向遍历的实现核心）
- 如何在表头、表中、表尾插入/删除一个结点

## **静态链表**

### 静态链表定义

### 定义静态链表

> #### 基本操作

**初始化**

- 把`a[0]`的`next`设为`-1`
- 把其他结点的`next`设为一个特殊值用来表示结点空闲，如`-2`

## **顺序表和链表的比较**

### 逻辑结构

都属于`线性表`，是**线性结构**

### 基本操作

> #### 创建

> #### 销毁

> #### 增删

> #### 查找

> #### 使用条件

### 开放式问题的解题思路

> **问题**： 请描述顺序表和链表的`bla bla bla…`实现线性表时，用顺序表还是链表好？

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线性表

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